선형 대수 예제

x + y + z = 2

$x + y + z = 2$ ,

4 x + 5 y + z = 12

$4 x + 5 y + z = 12$ ,

2 x = - 4

$2 x = - 4$

단계 1

연립방정식을 행렬 형태로 씁니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 4 & 5 & 1 & 12 2 & 0 & 0 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 1 & 12 \\ 2 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

단계 2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 4 - 4 \cdot 1 & 5 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 1 & 12 - 4 \cdot 2 2 & 0 & 0 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 5 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 1 & 12 - 4 \cdot 2 \\ 2 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

단계 2.1.2

R_{2}

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & - 3 & 4 2 & 0 & 0 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 2 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & - 3 & 4 2 & 0 & 0 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 2 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

단계 2.2

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & - 3 & 4 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 \cdot 2 \end{array}]$

단계 2.2.2

R_{3}

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & - 3 & 4 0 & - 2 & - 2 & - 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & - 2 & - 2 & - 8 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & - 3 & 4 0 & - 2 & - 2 & - 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & - 2 & - 2 & - 8 \end{array}]$

단계 2.3

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & - 3 & 4 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot - 3 & - 8 + 2 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot - 3 & - 8 + 2 \cdot 4 \end{array}]$

단계 2.3.2

R_{3}

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & - 3 & 4 0 & 0 & - 8 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 & - 8 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & - 3 & 4 0 & 0 & - 8 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 & - 8 & 0 \end{array}]$

단계 2.4

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

- \frac{1}{8}

$- \frac{1}{8}$ to make the entry at

3, 3

$3, 3$ a

1

$1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

- \frac{1}{8}

$- \frac{1}{8}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot 0 \end{array}]$

단계 2.4.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.5

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.5.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 2 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.7

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 2 - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 2.7.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

단계 3

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x = - 2$

$y = 4$

$z = 0$

단계 4

해는 연립방정식을 참이 되게 하는 순서쌍의 집합입니다.

$(- 2, 4, 0)$

단계 5

각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$